Système binaire
Cet article est consacré au système de numération binaire. En astrophysique, un système binaire est également un système constitué de deux astres tournant l'un autour de l'autre (voir étoile binaire).
Le système binaire est un système de numération utilisant la base 2. On nomme couramment bit (de l'anglais binary digit, soit « chiffre binaire ») les chiffres de la numérotation binaire. Ceux ci ne peuvent prendre que deux valeurs, notées par convention 0 et 1.
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Usage
Le système binaire est souvent utilisé pour représenter des valeurs telles que « vrai » et « faux », « tout » et « rien », « marche » et « arrêt » (on et off en anglais). Il convient notamment pour représenter le fonctionnement de l'électronique numérique utilisée dans les ordinateurs, d'où son usage en informatique. S'il se montre peu efficace pour l'usage humain (il faut 16 chiffres binaires pour représenter un nombre décimal de 5 chiffres !), il permet d'utiliser en électronique des circuits de commutation, dont le coût unitaire est si faible (quelques picoeuros) que la charge des traductions depuis et vers le décimal ne constitue plus un problème.
Codage binaire
Le codage le plus courant est l'équivalent en base deux de la numération de position que nous utilisons quotidiennement en base 10.
Pour trouver la représentation binaire d'un nombre, on le décompose en somme de puissances de 2. Par exemple avec le nombre dont la représentation décimale est 59 :
59 = 1×32 + 1×16 + 1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1 59 = 1×25 + 1×24 + 1×23 + 0×22 + 1×21 + 1×20 59 = 111011 en binaire
Avec n bits, ce système permet de représenter les nombres entre 0 et 2n-1. Il est donc possible de compter sur ses dix doigts jusqu'à 1023 (210-1) en binaire. Il suffit d'affecter à chaque doigt une valeur binaire (pouvant être représenté par un doigt plié).
Complément à deux
Ce codage permet de représenter des nombres négatifs. Dans ce système, multiplier un nombre par -1 consiste à permuter les valeurs de chaque bits et à ajouter 1 au nombre obtenu:
Par exemple pour obtenir -5:
0101 codage de 5 en binaire 1010 on permute la valeur de chaque bits 1011 on ajoute 1
Ce codage à l'avantage de ne pas nécessiter de différenciation spéciale des nombres positifs et négatifs, et évite en particulier le problème d'ordinateurs anciens (Control Data 6600) qui avaient un « +0 » et un « -0 » dont il fallait faire comprendre aux circuits de tests que c'était le même nombre ! Voici une addition de -5 et +7 réalisée en complément à deux sur 4 bits :
-5 1011 +7 0111 __ ____ 2 (1) 0010 (on 'ignore' la retenue)
Avec n bits, ce système permet de représenter les nombres entre -2n-1 et 2n-1-1.
voir article détaillé: Complément à deux
Code Gray ou binaire réfléchi
Ce codage permet de ne faire changer qu'un seul bit à la fois quand un nombre est augmenté d'une unité.
0 0000 1 0001 2 0011 3 0010 4 0110 5 0111 6 0101 7 0100
Pour passer d'une ligne à la suivante, on inverse le bit le plus à droite possible conduisant à un nombre nouveau.
Le nom de code binaire réfléchi vient d'une méthode de construction plus pratique pour choisir quel bit inverser quand on passe d'un nombre au suivant:
- On choisit un code de départ: zéro est codé 0 et un est codé 1.
- Puis, à chaque fois qu'on a besoin d'un bit supplémentaire,on symétrise les nombres déjà obtenus (comme une reflexion dans un miroir) et on rajoute un 1 au début des nouveaux nombres:
0 0 0 .0 0 00 0 .00 0 000
1 1 1 .1 1 01 1 .01 1 001
miroir->------ 2 .11 2 011
2 .1 2 11 3 .10 3 010
3 .0 3 10 -------
4 .10 4 110
5 .11 5 111
6 .01 6 101
7 .00 7 100
Ce code est surtout utilisé pour des capteurs de positions, par exemple sur des règles optiques. En effet si on utilise le code binaire standard, lors du passage de la position un (01) à deux (10) -- permutation simultanée de 2 bits -- il y a risque de passage transitoire par trois (11) ou zero (00), ce qu'évite le code Gray.
On remarquera que le passage du maximum (sept sur 3 bits) à zéro se fait également en ne modifiant qu'un seul bit. Ceci permet par exemple d'encoder un angle, comme la direction d'une girouette: 0=Nord, 1=Nord-Est, 2=Est, ... 7=Nord-Ouest. Le passage de Nord-Ouest à Nord se fait également sans problème en ne changeant qu'un seul bit. Voir Roue de codage.
Le code Gray sert également dans les tables de Karnaugh utilisées lors de la conception de circuits logiques.
Décimal codé binaire (« binary coded decimal », ou BCD)
Ce codage consiste à représenter chacun des chiffres de la numérotation décimale sur 4 bits:
1994 = 0001 1001 1001 0100
1*1000 + 9*100 + 9*10 + 4*1
Il présente l'avantage de simplifier la conversion avec la notation décimale.
Avec n bits (n multiple de 4), il est possible de représenter les nombres entre 0 et 10n/4-1. Soit approximativement entre 0 et 1.778n-1. Le BCD est un code redondant, en effet certaines combinaisons ne sont pas utilisées (comme 1111 par exemple).
Cette représentation évite par construction tous les problèmes gênants de cumul d'arrondi qui interviendraient lors de la manipulation de grands nombres dépassant la taille des circuits en arithmétique entière et obligent à recourir au flottant. Il est cependant possible de manipuler des nombres à précision arbitraire en utilisant un codage plus efficient que le BCD.
Il existe des variantes du codage BCD:
- code Aiken où 0, 1, 2, 3, 4 sont codés comme en BCD et 5, 6, 7, 8, 9 sont codés de 1011 à 1111. Il permet d'obtenir le complément à 9 en permutant les 1 et les 0.
- codage binaire excédent 3 qui consiste à représenter le chiffre à coder + 3.
Applications
Théorie de l'information
En théorie de l'information, on peut utiliser le bit comme unité de mesure de l'information. La théorie elle-même est indifférente à la représentation des grandeurs qu'elle utilise.
Logique
La logique classique est une logique bivalente: une proposition est soit vraie, soit fausse. Il est donc possible de représenter la vérité d'une proposition par un chiffre binaire. On peut par exemple modéliser les opérations de l'arithmétique binaire à l'aide de l'algèbre de Boole.
L'algèbre de Boole représente un cas très particulier d'usage des probabilités ne faisant intervenir que les seules valeurs de vérité 0 et 1. Voir Théorème de Cox-Jaynes.
Informatique
Le binaire est utilisé en informatique car il permet de modéliser le fonctionnement des composants de commutation comme le TTL ou le CMOS. La présence d'un seuil de tension au bornes des transistors, en négligeant la valeur exacte de cette tension, représentera 0 ou 1. Par exemple le chiffre 0 sera utilisé pour signifier une absence de tension à 0,5V près, et le chiffre 1 pour signifier sa présence à plus de 0,5V. cette marge de tolérance permet de pousser les cadences des microprocesseurs à des valeurs atteignant sans problème (hormis d'échahertz]]. Ne sachant pas techniquement réaliser des composants électroniques à plus de deux états stables (0 ou plus de 0,5V), on n'utilise que la logique (bivalente) et donc le système binaire.
En informatique, la représentation binaire permet de clairement manipuler des bits : chaque chiffre binaire correspond à un bit. La représentation binaire nécessitant l'usage de beaucoup de chiffres (même pour des nombres assez petits), ce qui entraînerait d'importants problèmes de lisibilité et donc de risques d'erreur de transcription pour les programmeurs on lui préfère pour eux une représentation parfois octale ou plus fréquemment hexadécimale. La quasi totalité des microprocesseurs actuels travaillant avec des mots de 8, 16, 32 ou 64 bits, la notation hexadécimale permet de manipuler l'information par paquets de 4 bits (contre 3 pour la notation octale plus populaire du temps des premiers mini-ordinateurs DEC à 12 ou 36 bits).
- 63 (10) = 111111 (2) = 77 (8) = 3F (16)
- 64 (10) = 1000000 (2) = 100 (8) = 40 (16)
- 255 (10) = 11111111 (2) = 377 (8) = FF (16)
- 256 (10) = 100000000 (2) = 400 (8) = 100 (16)
Voir aussi
- Format des données
- Arithmétique binaire
- Préfixe binaire
- Virgule flottante
- Système bibi-binaire de Boby Lapointe