Infini

L'infini (du latin finitus, « limité », noté habituellement ∞) est la faculté de ne pas avoir de limite.

L'infini mathématique

Aborder la notion d'infini en mathématiques peut se faire de plusieurs façons. La première et la plus simple consiste à poser un élément dénommé infini et à le caractériser par certaines de ses propriétés. Un tel élément n'a cependant aucun lien a priori avec la notion courante d'infini. Georg Cantor est le premier à donner une caractérisation de cette notion en termes formels :

Un ensemble est infini s'il est en bijection avec l'une de ses parties strictes.

Ainsi $\mathbb{Z}$ , ensemble des entiers relatifs, est infini car l'application $x \mapsto 2x$ le met en bijection avec l'ensemble des entiers pairs.

Sommaire

1 Les éléments à l'infini

1.1 L'élément ω
1.2 L'infini dans les ensembles ordonnés
1.3 L'infini topologique
1.4 La géométrie projective

2 Les cardinaux infinis

2.1 Ensembles infinis dénombrables
2.2 Ensembles infinis indénombrables
2.3 Combien existe-t-il d'infinis ?

3 L'infini potentiel et l'infini actuel

3.1 L'infini potentiel
3.2 L'infini actuel

4 Liens externes

Les éléments à l'infini

L'élément ω

Voir Ordinaux.

L'infini dans les ensembles ordonnés

L'infini topologique

L'ajout d'un élément ∞ à un espace topologique localement compact permet de rendre cet espace compact. Il s'agit de la compactification d'Alexandrov. Soit $(E, U)$ un espace topologique localement compact, son compactifié est l'espace $( E\cup\{\infty\}, U' )$ , où ∞ est un élément extérieur à E, et U' est obtenu de U en lui ajoutant tous les complémentaires dans $E\cup\{\infty\}$ des compacts de $(E, U)$ .

On peut alors définir les voisinages de l'infini : il s'agit de toute partie contenant un ouvert de U' \ U.

La géométrie projective

La géométrie projective consiste à rajouter à l'espace affine usuel des points dit à l'infini dans chaque direction. Le but est de ne plus faire de distinction entre droites sécantes et droites parallèles, ces dernières ayant un point commun à l'infini. C'est un outil de simplification remarquable. À titre d'exemple, en géométrie projective, il n'existe qu'un seul type de coniques au lieu de trois.

Les cardinaux infinis

Ensembles infinis dénombrables

Un ensemble infini est dénombrable s'il peut être mis en bijection avec $\mathbb{N}$ . Autrement dit, il est dénombrable si on peut établir une liste (infinie) de ses éléments.

Par exemple, on peut montrer que $\mathbb{Q}$ est dénombrable : classons pour cela les fractions irréductibles de la manière suivante :

pour toute fraction p/q, on calcule la somme p+q ;
on classe les fractions par ordre croissant de cette somme p+q ;
pour les fractions ayant la même somme p+q (comme 1/4 et 2/3), on les classe par ordre croissant de p ;
ainsi on peut attribuer à chaque fraction un entier unique correspondant à son numéro d'apparition dans la liste ainsi construite, le début de cette liste serait :

1 → 0

2 → 1/1

3 → 1/2

4 → 2/1

5 → 1/3

...

On a bien mis $\mathbb{Q}$ en bijection avec $\mathbb{N}$ .

Le cardinal d'un ensemble fini est un nombre entier. Par opposition, le cardinal d'un ensemble infini dénombrable est dit « transfini » (trop grand pour être écrit).

Le cardinal (on parle aussi de puissance) des ensembles infinis dénombrables est noté $\aleph_0$ .

Ensembles infinis indénombrables

Un ensemble infini indénombrable ne peut pas être mis en bijection avec $\mathbb{N}$ . On ne peut pas établir une liste de ses éléments.

Par exemple, l'ensemble des réels compris entre 0 et 1 est indénombrable : la démonstration s'appuie sur l'Argument de la diagonale de Cantor.

On dit que $\mathbb{R}$ a la puissance du continu, sa puissance (= son cardinal) est noté c ou $\aleph_1$ .

Combien existe-t-il d'infinis ?

L'infini potentiel et l'infini actuel

Selon Ibicrate, le géomètre, élève de Sophrotatos, les philosophes grecs ont toujours fait clairement le distinguo entre l’infini potentiel – accepté par Aristote essentiellement à l’usage des mathématiciens, l’apeiron - plus exactement traduit par « l’illimité » et l’infini actuel, par exemple l’ensemble des entiers positifs en tant que totalité achevée qu’il refuse de considérer.

L'infini potentiel

L'infini potentiel fut conçu déjà dans la Grèce antique. On considère que l'on se dirige vers l'infini sans jamais l'atteindre. L'infini est perçu comme une potentialité.

L'infini actuel

L'infini actuel est une conception plus contemporaine. À la Renaissance, la perspective cavalière et par la suite la géométrie projective introduisirent des points de fuite à l'infini perceptibles sur des tableaux ou des dessins. Cela amena les penseurs à imaginer l'infini comme « atteignable » ou comme ayant une réalité proche.

On considère l'infini comme une qualité intrinsèque de ce que l'on étudie. L'infini est perçu comme une réalité.

Liens externes

Infini en mathématiques

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