Bijection

Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel que f(x) = y. De manière équivalente, une bijection est une fonction qui est à la fois injective et surjective. Les bijections sont aussi appelées des applications biunivoques.

Lorsque X et Y sont tous les deux égaux à la droite réelle , une fonction bijective a un graphe qui intersecte toute droite horizontale en exactement un point.

Si X et Y sont des ensembles finis, alors il existe une bijection entre les deux ensembles X et Y ssi X et Y ont le même nombre d’éléments. La généralisation de cela aux ensembles infinis mène au concept de cardinal d’un ensemble, une façon de distinguer les différentes tailles infinies d’ensembles infinis.

Exemple concret

Prenons le cas d’une station de vacances. Il y correspond l’application d’un certain ensemble de touristes sur un certain nombre de chambres d’hôtel :

• Les touristes souhaitent que l’application soit injective, c’est-à-dire que chaque touriste ait une chambre individuelle.
• L’hôtelier souhaite que l’application soit surjective, c’est-à-dire que chaque chambre soit occupée.
• Ces desiderata n’ont rien d’incompatible, et l’application sera dite bijective si elle est à la fois injective et surjective, et qu’en d’autres termes chaque touriste a sa chambre et chaque chambre son touriste.

Exemples et contre-exemples

Considérons la fonction définie par f(x) = 2x + 1. Cette fonction est bijective, puisque pour tout nombre réel arbitraire donné y, nous pouvons trouver exactement une solution réelle de l’équation y = 2x + 1 d’inconnue x à savoir x = (y − 1)/2.

D’un autre côté, la fonction définie par g(x) = x² n’est pas bijective, pour essentiellement deux raisons différentes. La première est que, nous avons (par exemple) g(1) = 1 = g(−1), et donc g n’est pas injective; la seconde est qu’il n’y a (par exemple) aucun nombre réel x tel que x² = −1, et donc g n’est pas surjective non plus. L’une ou l’autre de ces constatations est suffisante pour montrer que g n’est pas bijective.

D’autre part, si nous définissons la fonction par la même relation que g, mais avec les ensembles de définition et d’arrivée restreints à , alors la fonction h est bijective. L’explication est que, pour un nombre réel positif donné y, nous pouvons trouver exactement une solution réelle positive de l’équation y = x² qui est x = √y.

Propriétés

• Une fonction f: X → Y est bijective si et seulement s’il existe une fonction g: Y → X telle que g ^o f soit l’application identique sur X et f ^o g soit l’application identique sur Y. Les bijections sont précisément les isomorphismes dans la catégorie des ensembles. Dans ce cas, g est déterminée de manière unique par f et nous appelons g l’application réciproque de f et nous écrivons f ⁻¹ = g. De plus, g est aussi une bijection, et la réciproque de g est f à nouveau.
• Si f ^o g est bijective, alors f est surjective et g est injective.
• Si f et g sont toutes deux bijectives, alors f ^o g est aussi bijective.
• Si X est un ensemble, alors les fonctions bijectives de X sur lui-même, forment avec l’opération de composition des applications (^o), un groupe, le groupe des permutations de X, qui est noté indifféremment S(X), S_X, σ_X ou σ(X).

Voir aussi Surjection, Injection, Théorème de la bijection

See also: Bijection, Application identique, Application réciproque, Ensemble, Ensemble d'arrivée, Ensemble de définition, Ensemble fini, Fonction et application, Groupe (mathématiques), Injection